Black-Scholes model: Vzorec pro oceňování opcí 

Autor: Ondřej Likeš
Black-Scholes model: vzorec pro oceňování opcí
Black-Scholes model je široce používanou matematickou metodou pro výpočet teoretické hodnoty opčního kontraktu.
Vzorec modelu využívá cenu akcie, očekávané dividendy, realizační cenu opce, očekávané úrokové sazby, dobu do expirace opce a očekávanou volatilitu.

Co je Black-Scholes model?

Black-Scholes model je matematický model finančního trhu s deriváty. Termín Black a Scholes se vztahuje ke třem konceptům finanční matematiky. Rozlišujeme Black-Scholesův model, Black-Scholesovu parciální diferenciální rovnici a z ní odvozený Black-Scholesův vzorec. Tyto koncepty vypracovali v roce 1973 vědci Fischer Black a Myron Scholes. 

Z parabolické parciální diferenciální rovnice v modelu, známé jako Black-Scholesova rovnice, lze odvodit Black-Scholesův vzorec, který lze použít k teoretickému odhadu ceny opcí evropského typu. Tento model také ukazuje, že opce má jedinečnou cenu danou rizikem daného cenného papíru a jeho očekávaným výnosem. 

Výše zmínění lidé tedy vyvinuli vzorec, který lze použít k výpočtu ceny opce. Později tento model dále rozvinul Robert C. Merton. Proto se někdy označuje jako Black-Scholes-Mertonův model (BSM). Myron Scholes obdržel za jejich práci v roce 1997, kdy byl již Fisher Black po smrti, Nobelovu cenu za ekonomii. 

Úspěšné obchodování s opcemi

Získejte bezplatnou investiční knihu o obchodování opcí

Poznejte základy obchodování opcí a faktory ovlivňující jejich cenu. Co je volatilita a význam řeckých písmen. Na více než 65 stranách získáte nejpopulárnější opční strategie a vše důležité pro úspěšný trading opcí.

  • This field is for validation purposes and should be left unchanged.

Předpoklady Black-Scholes modelu 

Black-Scholes model předpokládá, že trh se skládá alespoň z jednoho rizikového aktiva, obvykle akcie. Kromě toho se trh skládá také z jednoho bezrizikového aktiva, například hotovosti nebo státního dluhopisu. 

Pro rizikové aktivum pak platí následující předpoklady: 

  • Aktivum vykazuje stochastický proces. To znamená, že musí splňovat požadavky teorie náhodného vývoje (geometrický Brownův pohyb (GBM)). 
  • U vybrané akcie se nevyplácí dividendy. 
  • Daný derivát je evropského typu, tj. existuje pouze jeden okamžik, kdy může dojít k realizaci (vypořádání). 

U “bezrizikového” aktiva (hotovost nebo státní dluhopis) platí následující předpoklady: 

  • Peníze si lze půjčovat za stejnou průběžnou složenou úrokovou sazbu, která zůstává v čase konstantní. 
  • Můžeme nakupovat a prodávat akcie za libovolnou částku bez poplatků za obchodování. 
  • Trh nemá žádné arbitrážní možnosti. 

Pomocí výše uvedeného modelu Black a Scholes ukázali, že je možné vytvořit zajištěnou pozici pro evropské kupní a prodejní opce. Toto zajištění se skládá z dlouhé akciové pozice a krátké opční pozice, jejíž hodnota nebude záviset na ceně akcií. 

Jejich dynamická zajišťovací strategie vedla k parciální diferenciální rovnici, která určuje cenu opce. Z této rovnice je odvozen Black-Scholesův vzorec. 

Oceňování opcí podle Black-Scholesova vzorce 

Ceny opcí se určují podle Black-Scholesova vzorce, který využívá ceny akcií, realizační ceny opcí, čas, volatilitu a očekávané úrokové sazby. Přímo na trhu nelze sledovat pouze očekávanou volatilitu. Obvykle se odvozuje od ceny ostatních opcí. Níže si stručně vzorec vysvětlíme. 

Black-Scholes model a oceňování opcí
Dle Black-Scholesova vzorce se určují ceny opcí.
  • C = kupní cena 
  • N = kumulativní distribuční funkce normálního rozdělení 
  • St = spotová cena aktiva 
  • K = realizační cena 
  • r = bezriziková úroková míra 
  • t = doba do vypršení platnosti 
  • σ = volatilita aktiva 
Lynx opční broker
Opční platforma: co vše by měla nabízet?

Snadné vytváření kombinací opcí, rychlé zadávání příkazů nebo přehledný řetězec. Kvalitní platforma je základem pro úspěšné obchodování opcí. Tu pokročilou s nástroji jako OptionTrader či ComboTrader nabízí online broker LYNX. Objevte, co vše umí a jak dokáže zefektivnit trading.

V čem může Black-Scholes model pomoci opčním investorům?

Oceňování opcí je dnes řízeno elektronicky. Ceny opcí jsou stanoveny podle Black-Scholesova modelu. Chytré počítače neustále vypočítávají hodnotu opcí na základě několika proměnných. Díky tomu se obchodování s opcemi stalo transparentním a přístupným i pro soukromé investory. 

Hlavní myšlenkou tohoto modelu je zajištění opcí nákupem a prodejem podkladového aktiva ve správném množství, čímž se eliminuje riziko. Tento typ zajištění se nazývá “průběžně revidované zajištění delty” a tvoří základ složitějších zajišťovacích strategií. Tyto strategie jsou velmi složité a obvykle je realizují velké investiční banky a hedgeové fondy. 

Přečtěte si také:

Další použité zdroje:

BLEKEMOLEN, J. Black-Scholes model: formule voor de waardering van opties. LYNX [online]. Vydáno 21. 6. 2022 [cit. 30. 8. 2022]. Článek naleznete zde.

Vše o možnostech

Online broker LYNX

Chtěli byste obchodovat na burze? Otevřete si účet prostřednictvím online brokera LYNX. Obchodujte akcie, opce, futures nebo investujte do ETF. A to vše v rámci jednoho investičního účtu. Zjistěte více na: Online broker LYNX